Factorización.
2. Factorizar un Binomio de la forma: xn ±yn.
Factorización de la diferencia de dos cuadrados. Por multiplicación se obtiene:
(a + b)(a - b) = a2 - b2.
Inversamente, se puede escribir:
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
La diferencia de dos cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados, formados por las raíces cuadradas de los términos.
Ejemplo: Factorizar las expresiones siguientes.
9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2
= (3a + 4b)(3a - 4b).
(7x + 3)2 - (5x -
4)2 = (7x + 3 + 5x - 4)(7x + 3 - 5x + 4) = (12x - 1)(2x +
7).
Observación. Hay polinomios que pueden tomar la forma de diferencia de cuadrados ya sea agrupando debidamente sus términos o agregándoles y restándoles un mismo termino:
9x4 + 11x2 + 4 = 9x4 + 12x2
+ 4 - x2 = (3x2 + 2)2 - (x)2
= (3x2 + 2 + x)(3x2 + 2 - x).
En este ejemplo, se ha agregado x2 con el objeto de convertir el trinomio en cuadrado perfecto, y se ha restado el mismo término para que la expresión no cambie de valor.
Factorizar de la suma de dos cubos. De la igualdad ya obtenida:
(a
+ b)(a2
- ab + b2) = a3 + b3,
se deduce inversamente:
a3 + b3 = (a + b)(a2
- ab + b2).
La suma de los cubos de dos términos puede factorizarse indicando el producto de dos factores, uno de los cuales es la suma de las raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de sus cuadrados, disminuida del producto de esos dos términos.
Ejemplo. Factorizar:
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3
= (3x + 2y)(9x2 - 3x·2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2
- 6xy + 4y2).
Factorizar de la diferencia de dos cubos. Al igual que para la suma de dos cubos, de la igualdad:
(a
- b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
se obtiene inversamente:
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
La diferencia de los cubos de dos términos puede factorizarse indicando el producto de dos factores, uno de los cuales es la diferencia de las raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de sus cuadrados, aumentada del producto de las raíces de los dos términos.
Ejemplo. Factorizar:
125a3 - b3c3 = (5a)2 - (bc)2
= (5a - bc)(25a2 + 5a·bc +b2c2) = (5a -
bc)(25a2 + 5abc + b2c2).
Factorizar un binomio de la forma: xn ±yn.
Sea factorizar el binomio
x5 + y5 .
Sus divisores, de la forma xn ±yn solo pueden ser xn +
yn , y xn - yn
. Al ensayarlos sucesivamente, aplicando la propiedad del residuo de la división,
(El residuo de la división de un polinomio entero en x,
entre un binomio de la forma x ± a, se obtiene sustituyendo, en el dividendo, x por el simétrico de
a. ) se obtiene:
P(-y) = -y5 + y5 = 0.
P(y) = y5 +
y5 = 2y5.
Por lo tanto x5 + y5 es
divisible entre x +
y pero no entre x - y .
Al efectuar la división, se halla el otro factor del binomio propuesto, o sea:
(x5 + y5) ÷
(x + y) = x4 - x3y + x2y2 - xy3
+ y4 .
luego:
x5 + y5 = (x + y)(x4
- x3y + x2y2 - xy3 + y4)
.
Para factorizar un binomio de la forma xn ±
yn hay que examinar qué binomio de la forma
xn±
yn lo divide exactamente, y multiplicar este divisor por el cociente de la división.
Cuando el binomio es xn - yn
y n es par, es preferible considerar dicho binomio como una diferencia de cuadrados.
Ejemplo. Factorizar:
x3 + 1 = (x + 1)(x3 - x +
1).
x7 - y7 = (x - y)(x6 + x5y + x4y2
+ x3y3 + x2y4 + xy5
+ y6 ).
a4 - b4 = (a2 + b2)(a2
- b2) = (a2 + b2)(a + b)(a -
b).
